Дроби в степени правила

Дроби в степени правила

Дроби в степени правила

Здравствуйте, в этой статье мы постараемся ответить на вопрос «Дроби в степени правила». Также Вы можете бесплатно проконсультироваться у юристов онлайн прямо на сайте.

Гармоничное сочетание теоретического и практического материала с иллюстрациями. Наличие объемных изображений стимулирует абстрактно-пространственное мышление. Повышение отклика от учеников во время изучения новой темы. Мультимедийная презентация позволяет школьникам без труда понимать даже сложные теоремы.

Кроме того, у вас появится возможность совершенно бесплатно скачать с файлообменника уже готовые подробные решения к данным задачам, иллюстрирующие различные способы получения верного ответа.
Например, если говорить о десятичной системе счисления, то в числе 700 цифра 7 означает «семь сотен», но эта же цифра в числе 71 означает «семь десятков», а в числе 7020 — «семь тысяч».

Возведение дроби со степенью в еще одну степень

Сначала разберемся, что понимают под термином «сокращение алгебраической дроби», и выясним, всегда ли алгебраическая дробь сократима. Дальше приведем правило, позволяющее проводить это преобразование. Наконец, рассмотрим решения характерных примеров, которые позволят уяснить все тонкости процесса.

Изучая обыкновенные дроби, мы говорили про их сокращение. Сокращением обыкновенной дроби мы назвали деление ее числителя и знаменателя на общий множитель. Например, обыкновенную дробь 30/54 можно сократить на 6 (то есть, разделить на 6 ее числитель и знаменатель), что приведет нас к дроби 5/9 .

Совершенно не обязательно «единица» в определении дроби на практике должна быть представлена кругом или тортом (как обычно её представляют в примерах из учебников) или чем-то монолитным физически.

Иногда значительно легче вычислить дробь в отрицательной степени, сразу поменяв числить и знаменатель местами и умножив степень на -1. Рассмотрим данное преобразования на примерах.

Для этого наряду с опросом заказчика используются такие манеры обследования:

  • визуальный осмотр;
  • магнито-резонансная томография;
  • компьюторная томография.

Сокращение алгебраических дробей: правило, примеры

Заметим, что при возведении в натуральную степень дробь, которую не можем сократить, получаем также несократимую дробь. Это не упрощает ее для дальнейшего решения. Когда заданная дробь может быть сокращена, тогда при возведении в степень получаем, что необходимо выполнение сокращения алгебраической дроби, во избежание выполнения сокращения после того, как возведем в степень.

Изнаночная будет помещаться ниже. Меняется и положение тазовых костей. По причине этого правая нога визуально присмотрит длиннее. Врач исследует поясницу язвенницу. Изнаночная половина приметно поднимается.

Данная обыкновенная дробь переведется в число (десятичную дробь) с конечным количеством знаков после запятой.

Основные определения, обозначения и свойства: специальные функции, функциональные пространства, интегральные преобразования Специальные функции Функциональные пространства Основные интегральные преобразования Глава.

Возведение алгебраической дроби в степень: правило, примеры

Но если общим множителем числителя и знаменателя обыкновенной дроби может быть только число, то общим множителем числителя и знаменателя алгебраической дроби может быть многочлен, в частности, одночлен или число.

Второй способ, как перевести дробь в число — более простой: необходимо числитель поделить на знаменатель. Для применения этого способа просто произведем деление, а полученное число и будет той искомой десятичной дробью.

Например, надо перевести дробь 2/15 в число. Делим 2 на 15. Получаем 0, 1333… — бесконечная дробь. Записываем так: 0,13(3).

Мы специально пока не доводим вычисления до конца, чтобы было наглядно видно, как можно сразу выписать этот результат, опуская промежуточные рассуждения.

Но если и этого вам мало, то можно открыть расширенный список. Для этого нужно повторить описанные выше действия, но вместо выбора формулы кликнуть на одноименный пункт ниже.

Как сократить дробь со степенями

Наряду с детальной обзорной информацией и библиографией по указанной тематике книга содержит оригинальные результаты авторов, существенная часть которых с подробными доказательствами публикуется впервые. В первой главе излагаются исторические сведения, необходимые обозначения, определения и вспомогательные факты.

Чтобы перевести целое число из одной системы счисления с основанием d1 в другую с основанием d2 необходимо последовательно делить это число и получаемые частные на основание d2 новой системы до тех пор, пока не получится частное меньше основания d2.

Компьютер имеется в доме практически каждой семьи. Однако многие не знают, что с помощью ПК можно ускорить развитие ребенка. Сделать это можно с помощью детских мультимедийных презентаций, которые включают массу полезной информации: картинки, звуковые материалы, схемы и другие интересные аспекты.

Чтобы перевести целое число из одной системы счисления с основанием d1 в другую с основанием d2 необходимо последовательно делить это число и получаемые частные на основание d2 новой системы до тех пор, пока не получится частное меньше основания d2.

Презентации помогут малышам до 3-х лет научиться различать цвета, формы, познакомят с алфавитом. Для ребят постарше можно использовать пособия, развивающие память, обучающие рисованию.

Но намного чаще общего множителя числителя и знаменателя алгебраической дроби сразу не видно, а еще чаще – его просто нет.

Как поменять размер формул и изменить интервал между символами?

Торт разрезали на 8 равных кусков. Каждый кусок – это 1/8 торта. Папе в тарелку положили два куска (т.е. 2/8 торта), а бабушке – три куска (т.е. 3/8 торта).

Нам известно, что обыкновенные дроби подразделяются на сократимые и несократимые дроби. Несократимые дроби не имеют отличных от единицы общих множителей в числителе и знаменателе, следовательно, не подлежат сокращению.

Указанные результаты образуют стройную и обоснованно структурированную книгу, посвященную одному из самых эффективных и по-прежнему) перспективных методов изучения сингулярных задач киприяновского направления методу операторов преобразования сплетающих операторов). Безусловно, сфера применения этого метода отнюдь не исчерпывается сингулярными дифференциальными уравнениями.

Тема сводится к тому, что нам необходимо производить умножение одинаковых дробей. Данная статья расскажет, какое необходимо использовать правило, чтобы верно возводить алгебраические дроби в натуральную степень.

Доказательство данного правила записывается в виде дроби, которую необходимо возвести в степень, основываясь на самом определении с натуральным показателем.

Разберем одну из важнейших тем по информатике — . В школьной программе она раскрывается довольно «скромно», скорее всего, из-за недостатка отведенных на нее часов.

Напомню, что существует как минимум две формы записи одной и той же дроби: обыкновенная и десятичная. Десятичные дроби — это всевозможные конструкции вида 0,75; 1,33; и даже −7,41.

Как видите, благодаря этому вы сможете создавать математические выражения и физические формулы любой сложности.

Способы преобразования дроби в число

Для того чтобы раскрыть список полностью, нужно кликнуть на треугольник в правом нижнем углу этого блока.

Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.

Как производить:

  • Протянуться на живот.
  • Выпрямить рычаги и ноги.
  • Согнуть правую хэнд (верхняя конечность человека, станково двигательного аппарата, одна из жизненно важнейших частей тела (многозначное слово, может означать)).
  • Херовую конечность и правую ногу приподнять над дутом.
  • Удерживать конечности (парные придатки тела у животных, обособленные от туловища или головы и обычно движимые мускульной силой (реже — гидравлически, нагнетанием жидкости)) в эдакий стойки несколько секунд.
  • Плавно пропустить конечности.
  • Повторить то же самое с дпугого манера рукой и ногой.
  • Дробь повторов определяет инструктор ЛФК.

Рассказывать о природных явлениях, городах и странах без возможности показать, как все это выглядит, бессмысленно. Демонстрация качественных фотоматериалов, иллюстраций и карт на уроках географии – обязательное условие успешного усвоения учебного материала. Такое представление информации поможет школьникам получить полноценные представления об окружающем мире.

Чтобы перевести правильную дробь из системы счисления с основанием d1 в систему с основанием d2, необходимо последовательно умножать исходную дробь и дробные части получающихся произведений на основание новой системы счисления d2. Правильная дробь числа в новой системе счисления с основанием d2 формируется в виде целых частей получающихся произведений, начиная с первого.

Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.

Постоянные коэффициенты Весовая краевая задача в полупространстве. Маломеняющиеся коэффициенты Весовая краевая задача в ограниченной области Глава 5.

Теперь рассмотрим комбинированные задачи, в которых нам будет необходимо и возводить дроби в степень, и умножать их, и делить.

Алгебра, 6-8 кл (А.Н. Барсуков, 1966)

Мы ушли от темы, на самом деле у нас много хороших презентаций, как в этом, так и в других разделах. В данном разделе (о эврика!) много, нет просто очень много, презентаций по английскому языку, да да… Все они лежат у нас на хостинге, поэтому вы видите рекламу, так как у нас нет спонсоров, которые платят нам за то, что мы есть. Да, согласен!!!

Степень отрицательного числа с четным показателем положительна, а с нечетным показателем отрицательна.

Чтобы преобразовать выражение, необходимо воспользоваться формулой квадрата суммы трех слагаемых в знаменателе, а в числителе – квадратом разности, что позволит упростить выражение.

Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную систему счисления

М. Ландиса Приложения метода операторов преобразования для возмущённого уравнения Бесселя с переменным потенциалом Решение основного интегрального уравнения для ядра оператора преобразования Приложение метода операторов преобразования к задаче Е. М.

Самый удобный способ отыскания общих заключается в разложении на множители многочленов, находящихся в числителе и знаменателе исходной алгебраической дроби.

При этом сразу становятся видны общие множители числителя и знаменателя, либо становится видно, что общих множителей нет.

Для перевода числа из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную необходимо каждую цифру этого числа записать четырехразрядным двоичным числом (тетрадой).

Источник: http://axbagpipe.ru/finansovye-sovety/9087-drobi-v-stepeni-pravila.html

Сложение, вычитание, умножение, и деление степеней

Дроби в степени правила

Очевидно, что числа со степенями могут слагаться, как другие величины , путем их сложения одно за другим со своими знаками.

Так, сумма a3 и b2 есть a3 + b2.
Сумма a3 – bn и h5 -d4 есть a3 – bn + h5 – d4.

Коэффициенты одинаковых степеней одинаковых переменных могут слагаться или вычитаться.

Так, сумма 2a2 и 3a2 равна 5a2.

Это так же очевидно, что если взять два квадрата а, или три квадрата а, или пять квадратов а.

Но степени различных переменных и различные степениодинаковых переменных, должны слагаться их сложением с их знаками.

Так, сумма a2 и a3 есть сумма a2 + a3.

Это очевидно, что квадрат числа a, и куб числа a, не равно ни удвоенному квадрату a, но удвоенному кубу a.

Сумма a3bn и 3a5b6 есть a3bn + 3a5b6.

Вычитание степеней проводится таким же образом, что и сложение, за исключением того, что знаки вычитаемых должны соответственно быть изменены.

Из2a43h2b65(a – h)6
Вычитаем-6a44h2b62(a – h)6
Результат8a4-h2b63(a – h)6

Или:
2a4 – (-6a4) = 8a4
3h2b6 – 4h2b6 = -h2b6
5(a – h)6 – 2(a – h)6 = 3(a – h)6

Умножение степеней

Числа со степенями могут быть умножены, как и другие величины, путем написания их одно за другим, со знаком умножения или без него между ними.

Так, результат умножения a3 на b2 равен a3b2 или aaabb.

Первый множительx-33a6y2a2b3y2
Второй множительam-2xa3b2y
Результатamx-3-6a6xy2a2b3y2a3b2y

Или:
x-3 ⋅ am = amx-3
3a6y2 ⋅ (-2x) = -6a6xy2
a2b3y2 ⋅ a3b2y = a2b3y2a3b2y

Результат в последнем примере может быть упорядочен путём сложения одинаковых переменных.
Выражение примет вид: a5b5y3.

Сравнивая несколько чисел(переменных) со степенями, мы можем увидеть, что если любые два из них умножаются, то результат – это число (переменная) со степенью, равной сумме степеней слагаемых.

Так, a2.a3 = aa.aaa = aaaaa = a5.

Здесь 5 – это степень результата умножения, равная 2 + 3, сумме степеней слагаемых.

Так, an.am = am+n.

Для an, a берётся как множитель столько раз, сколько равна степень n;

И am, берётся как множитель столько раз, сколько равна степень m;

Поэтому, степени с одинаковыми основами могут быть умножены путём сложения показателей степеней.

Так, a2.a6 = a2+6 = a8. И x3.x2.x = x3+2+1 = x6.

Первый множитель4anb2y3(b + h – y)n
Второй множитель2anb4y(b + h – y)
Результат8a2nb6y4(b + h – y)n+1

Или:
4an ⋅ 2an = 8a2n
b2y3 ⋅ b4y = b6y4
(b + h – y)n ⋅ (b + h – y) = (b + h – y)n+1

Умножьте (x3 + x2y + xy2 + y3) ⋅ (x – y).
Ответ: x4 – y4.
Умножьте (x3 + x – 5) ⋅ (2×3 + x + 1).

Это правило справедливо и для чисел, показатели степени которых – отрицательные.

1. Так, a-2.a-3 = a-5. Это можно записать в виде (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n.y-m = y-n-m.

3. a-n.am = am-n.

Если a + b умножаются на a – b, результат будет равен a2 – b2: то есть

Результат умножения суммы или разницы двух чисел равен сумме или разнице их квадратов.

Если умножается сумма и разница двух чисел, возведённых в квадрат, результат будет равен сумме или разнице этих чисел в четвёртой степени.

Так, (a – y).(a + y) = a2 – y2.
(a2 – y2)⋅(a2 + y2) = a4 – y4.
(a4 – y4)⋅(a4 + y4) = a8 – y8.

Деление степеней

Числа со степенями могут быть поделены, как и другие числа, путем отнимая от делимого делителя, или размещением их в форме дроби.

Таким образом a3b2 делённое на b2, равно a3.

Делимое9a3y4a2b + 3a2d⋅(a – h + y)3
Делитель-3a3a2(a – h + y)3
Результат-3y4b + 3d

Или:$\frac{9a3y4}{-3a3} = -3y4$$\frac{a2b + 3a2}{a2} = \frac{a2(b+3)}{a2} = b + 3$

$\frac{d\cdot (a – h + y)3}{(a – h + y)3} = d$

Запись a5, делённого на a3, выглядит как $\frac{a5}{a3}$. Но это равно a2. В ряде чисел
a+4, a+3, a+2, a+1, a0, a-1, a-2, a-3, a-4.
любое число может быть поделено на другое, а показатель степени будет равен разнице показателей делимых чисел.

При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются..

Так, y3:y2 = y3-2 = y1. То есть, $\frac{yyy}{yy} = y$.

И an+1:a = an+1-1 = an. То есть $\frac{aan}{a} = an$.

Делимоеy2m8an+m12(b + y)n
Делительym4am3(b + y)3
Результатym2an4(b +y)n-3

Или:
y2m : ym = ym
8an+m : 4am = 2an
12(b + y)n : 3(b + y)3 = 4(b +y)n-3

Правило также справедливо и для чисел с отрицательными значениями степеней.
Результат деления a-5 на a-3, равен a-2.
Также, $\frac{1}{aaaaa} : \frac{1}{aaa} = \frac{1}{aaaaa}.\frac{aaa}{1} = \frac{aaa}{aaaaa} = \frac{1}{aa}$.

h2:h-1 = h2+1 = h3 или $h2:\frac{1}{h} = h2.\frac{h}{1} = h3$

Необходимо очень хорошо усвоить умножение и деление степеней, так как такие операции очень широко применяются в алгебре.

Примеры решения примеров с дробями, содержащими числа со степенями

1. Уменьшите показатели степеней в $\frac{5a4}{3a2}$ Ответ: $\frac{5a2}{3}$.

2. Уменьшите показатели степеней в $\frac{6×6}{3×5}$. Ответ: $\frac{2x}{1}$ или 2x.

3. Уменьшите показатели степеней a2/a3 и a-3/a-4 и приведите к общему знаменателю.
a2.a-4 есть a-2 первый числитель.
a3.a-3 есть a0 = 1, второй числитель.
a3.a-4 есть a-1, общий числитель.
После упрощения: a-2/a-1 и 1/a-1.

4. Уменьшите показатели степеней 2a4/5a3 и 2/a4 и приведите к общему знаменателю.
Ответ: 2a3/5a7 и 5a5/5a7 или 2a3/5a2 и 5/5a2.

5. Умножьте (a3 + b)/b4 на (a – b)/3.

6. Умножьте (a5 + 1)/x2 на (b2 – 1)/(x + a).

7. Умножьте b4/a-2 на h-3/x и an/y-3.

8. Разделите a4/y3 на a3/y2. Ответ: a/y.

9. Разделите (h3 – 1)/d4 на (dn + 1)/h.

Источник: https://www.math10.com/ru/algebra/slogenie-vichitanie-umnozhenie-delenie-stepeney.html

Возведение в степень: правила, примеры

Дроби в степени правила

Мы разобрались, что вообще из себя представляет степень числа. Теперь нам надо понять, как правильно выполнять ее вычисление, т.е. возводить числа в степень. В этом материале мы разберем основные правила вычисления степени в случае целого, натурального, дробного, рационального и иррационального показателя. Все определения будут проиллюстрированы примерами.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Начнем с формулирования базовых определений.

Определение 1

Возведение в степень – это вычисление значения степени некоторого числа.

То есть слова “вычисление значение степени” и “возведение в степень” означают одно и то же. Так, если в задаче стоит “Возведите число 0,5 в пятую степень”, это следует понимать как “вычислите значение степени (0,5)5.

Теперь приведем основные правила, которым нужно придерживаться при таких вычислениях.

Как возвести число в натуральную степень

Вспомним, что такое степень числа с натуральным показателем. Для степени с основанием a и показателем n это будет произведение n-ного числа множителей, каждый из которых равен a. Это можно записать так:

Чтобы вычислить значение степени, нужно выполнить действие умножения, то есть перемножить основания степени указанное число раз. На умении быстро умножать и основано само понятие степени с натуральным показателем. Приведем примеры.

Пример 1

Условие: возведите -2 в степень 4.

Решение

Используя определение выше, запишем: (−2)4=(−2)·(−2)·(−2)·(−2). Далее нам нужно просто выполнить указанные действия и получить 16.

Возьмем пример посложнее.

Пример 2

Вычислите значение 3272

Решение

Данную запись можно переписать в виде 327·327. Ранее мы рассматривали, как правильно умножать смешанные числа, упомянутые в условии.

Выполним эти действия и получим ответ: 327·327=237·237=52949=103949

Если в задаче указана необходимость возводить иррациональные числа в натуральную степень, нам потребуется предварительно округлить их основания до разряда, который позволит нам получить ответ нужной точности. Разберем пример.

Пример 3

Выполните возведение в квадрат числа π.

Решение

Для начала округлим его до сотых. Тогда π2≈(3,14)2=9,8596. Если же π≈3.14159, то мы получим более точный результат: π2≈(3,14159)2=9,8695877281.

Отметим, что необходимость высчитывать степени иррациональных чисел на практике возникает сравнительно редко. Мы можем тогда записать ответ в виде самой степени (ln 6)3 или преобразовать, если это возможно: 57=1255.

Отдельно следует указать, что такое первая степень числа. Тут можно просто запомнить, что любое число, возведенное в первую степень, останется самим собой:

a1=a

Это понятно из записи .

От основания степени это не зависит.

Пример 4

Так, (−9)1=−9, а 73, возведенное в первую степень, останется равно  73.

Как возвести число в целую степень

Для удобства разберем отдельно три случая: если показатель степени – целое положительное число, если это ноль и если это целое отрицательное число.

В первое случае это то же самое, что и возведение в натуральную степень: ведь целые положительные числа принадлежат ко множеству натуральных. О том, как работать с такими степенями, мы уже рассказали выше.

Теперь посмотрим, как правильно возводить в нулевую степень. При основании, которое отличается от нуля, это вычисление всегда дает на выходе 1. Ранее мы уже поясняли, что 0-я степень a может быть определена для любого действительного числа, не равного 0, и a0=1.

Пример 5

Примеры:

50=1, (-2,56)0=1230=1

00- не определен.

У нас остался только случай степени с целым отрицательным показателем. Мы уже разбирали, что такие степени можно записать в виде дроби 1az, где а – любое число, а z – целый отрицательный показатель. Мы видим, что знаменатель этой дроби есть не что иное, как обыкновенная степень с целым положительным показателем, а ее вычислять мы уже научились. Приведем примеры задач.

Пример 6

Возведите 3 в степень -2.

Решение 

Используя определение выше, запишем: 2-3=123

Подсчитаем знаменатель этой дроби и получим 8: 23=2·2·2=8.

Тогда ответ таков: 2-3=123=18

Пример 7

Возведите 1,43 в степень -2.

Решение 

Переформулируем: 1,43-2=1(1,43)2

Вычисляем квадрат в знаменателе: 1,43·1,43. Десятичные дроби можно умножить таким способом:

В итоге у нас вышло (1,43)-2=1(1,43)2=12,0449. Этот результат нам осталось записать в виде обыкновенной дроби, для чего необходимо умножить ее на 10 тысяч (см. материал о преобразовании дробей).

Ответ: (1,43)-2=1000020449

Отдельный случай – возведение числа в минус первую степень. Значение такой степени равно числу, обратному исходному значению основания: a-1=1a1=1a.

Пример 8

Пример: 3−1=1/3

913-1=13964-1=164 .

Как возвести число в дробную степень

Для выполнения такой операции нам потребуется вспомнить базовое определение степени с дробным показателем: amn=amnпри любом положительном a, целом m и натуральном n.

Определение 2

Таким образом, вычисление дробной степени нужно выполнять в два действия: возведение в целую степень и нахождение корня n-ной степени.

У нас есть равенство amn=amn, которое, учитывая свойства корней, обычно применяется для решения задач в виде amn=anm. Это значит, что если мы возводим число a в дробную степень m/n, то сначала мы извлекаем корень n-ной степени из а, потом возводим результат в степень с целым показателем m.

Проиллюстрируем на примере.  

Пример 9

Вычислите 8-23.

Решение

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/stepeni/vozvedenie-v-stepen/

Сложные выражения с дробями. Порядок действий

Дроби в степени правила

8 августа 2011

Теперь, когда мы научились складывать и умножать отдельные дроби, можно рассматривать более сложные конструкции. Например, что, если в одной задаче встречается и сложение, и вычитание, и умножение дробей?

В первую очередь, надо перевести все дроби в неправильные. Затем последовательно выполняем требуемые действия — в том же порядке, как и для обычных чисел. А именно:

  1. Сначала выполняется возведение в степень — избавьтесь от всех выражений, содержащих показатели;
  2. Затем — деление и умножение;
  3. Последним шагом выполняется сложение и вычитание.

Разумеется, если в выражении присутствуют скобки, порядок действий изменяется — все, что стоит внутри скобок, надо считать в первую очередь. И помните о неправильных дробях: выделять целую часть надо лишь тогда, когда все остальные действия уже выполнены.

Задача. Найдите значения выражений:

Переведем все дроби из первого выражения в неправильные, а затем выполним действия:

Теперь найдем значение второго выражения. Тут дробей с целой частью нет, но есть скобки, поэтому сначала выполняем сложение, и лишь затем — деление. Заметим, что 14 = 7 · 2. Тогда:

Наконец, считаем третий пример. Здесь есть скобки и степень — их лучше считать отдельно. Учитывая, что 9 = 3 · 3, имеем:

Обратите внимание на последний пример. Чтобы возвести дробь в степень, надо отдельно возвести в эту степень числитель, и отдельно — знаменатель.

Можно решать по-другому. Если вспомнить определение степени, задача сведется к обычному умножению дробей:

Многоэтажные дроби

До сих пор мы рассматривали лишь «чистые» дроби, когда числитель и знаменатель представляют собой обыкновенные числа. Это вполне соответствует определению числовой дроби, данному в самом первом уроке.

Но что, если в числителе или знаменателе разместить более сложный объект? Например, другую числовую дробь? Такие конструкции возникают довольно часто, особенно при работе с длинными выражениями. Вот пара примеров:

Здесь и далее мы будем называть эти дроби многоэтажными. Однако имейте в виду, что общепризнанного названия у них нет, и в разных учебниках могут встречаться другие определения.

Правило работы с многоэтажными дробями всего одно: от них надо немедленно избавляться. Удалить «лишние» этажи довольно просто, если вспомнить, что дробная черта означает стандартную операцию деления. Поэтому любую дробь можно переписать следующим образом:

Пользуясь этим фактом и соблюдая порядок действий, мы легко сведем любую многоэтажную дробь к обычной. Взгляните на примеры:

Задача. Переведите многоэтажные дроби в обычные:

В каждом случае перепишем основную дробь, заменив разделительную черту знаком деления. Также вспомним, что любое целое число представимо в виде дроби со знаменателем 1. Т.е. 12 = 12/1; 3 = 3/1. Получаем:

В последнем примере перед окончательным умножением дроби были сокращены.

Специфика работы с многоэтажными дробями

В многоэтажных дробях есть одна тонкость, которую всегда надо помнить, иначе можно получить неверный ответ, даже если все вычисления были правильными. Взгляните:

Это выражение можно прочитать по-разному:

  1. В числителе стоит отдельное число 7, а в знаменателе — дробь 12/5;
  2. В числителе стоит дробь 7/12, а в знаменателе — отдельное число 5.

Итак, для одной записи получили две совершенно разных интерпретации. Если подсчитать, ответы тоже будут разными:

Чтобы запись всегда читалась однозначно, используйте простое правило: разделяющая черта основной дроби должна быть длиннее, чем черта вложенной. Желательно — в несколько раз.

Если следовать этому правилу, то приведенные выше дроби надо записать так:

Да, возможно, это некрасиво и занимает слишком много места. Зато вы будете считать правильно. Напоследок — пара примеров, где действительно возникают многоэтажные дроби:

Задача. Найдите значения выражений:

Итак, работаем с первым примером. Переведем все дроби в неправильные, а затем выполним операции сложения и деления:

Аналогично поступим со вторым примером. Переведем все дроби в неправильные и выполним требуемые операции. Чтобы не утомлять читателя, я опущу некоторые очевидные выкладки. Имеем:

Благодаря тому, что в числителе и знаменателе основных дробей стоят суммы, правило записи многоэтажных дробей соблюдается автоматически. Кроме того, в последнем примере мы намеренно оставили число 46/1 в форме дроби, чтобы выполнить деление.

Также отмечу, что в обоих примерах дробная черта фактически заменяет скобки: первым делом мы находили сумму, и лишь затем — частное.

Кто-то скажет, что переход к неправильным дробям во втором примере был явно избыточным. Возможно, так оно и есть. Но этим мы страхуем себя от ошибок, ведь в следующий раз пример может оказаться намного сложнее. Выбирайте сами, что важнее: скорость или надежность.

Источник: https://www.berdov.com/docs/fraction/complex_expressions/

Как возвести число в натуральную и дробную степень

Дроби в степени правила

Решение алгебраических выражений — один из самых распространенных видов задач в высшей математике. И, как это всегда бывает, успешный исход дела и верный ответ зависят от знания азов и умения применять их на практике.

Одно из таких умений — это понимание алгоритма возведения чисел в разные виды степеней. Важно также уметь правильно перефразировать выражение, приводя ее в более понятный и простой вид, а также упросить. Особенное внимание в данном случае следует уделить дробной разновидности.

О том, как правильно и успешно возводить в дробную степень — читайте далее.

Что означает возведение в степень

Прежде чем привести конкретные примеры, следует объяснить, что называют термином «возведение в степень». Вот подходящее определение. Возведением называют вычисление значения степени какого-либо числa. Поясним сказанное. Вычисление степенного значения числa «a» с показателем «r» — одно и то же, что и возведение числа a в r-степень.

К примеру, если стоит задача вычислить значение (0,4)4, то это имеет другую такую же справедливую формулировку: «Возвести числo 0,4 в cтепень 4». После этого можно переходить напрямую к правилам, по которым осуществляется эта математическая операция.

Натуральная степень числа

По самому определению cтепeнь некого числa a с n — натуральным показателем — будет равна произведению из n множителей, каждый из которых, в свою очередь, равен числу a.

Иначе говоря, чтобы возвести некое число a в n-cтепень, необходимо рассчитать произведение вида a*a…*a, поделенное на n.

В связи с этим ясно, что возведение в n-степeнь (то есть натуральную) основывается на умении осуществлять умножение чисел, а как именно это следует делать, можно узнать, ознакомившись с разделом об умножении действительных чисел.

Опишем способы решения на некоторых примерах.

  1. Пример 1. Задача Требуется выполнить возведение числa минус два в cтепень 4. Решение задачи. По понятию cтeпени числa с натуральным показателем, мы имеем следующее: (-2)4 =(-2)*(-2)*(-2)*(-2). Все очень просто. Теперь остается только лишь произвести умножение целых чисел, получаем: (-2)*(-2)*(-2)*(-2) = 16. Записываем ответ: (-2)4 = 16.
  2. Пример 2. Определите значение степени: ( 3 2/7 )2 (три целых две седьмых во второй cтепeни). Решение задачи. Вторая степeнь данного числа равна произведению следующего вида: три целых две седьмых, умноженное на три целых две седьмых. Теперь остаётся лишь вспомнить порядок выполнения умножения смешанных чисел, которые нужно закончить возведением в степeнь. Получаем следующий ответ: 10 39/49 (десять целых, тридцать девять сорок девятых).

Иррациональные числa

Что касаемо возведения иррациональных чисел в натуральную cтепень, то его следует проводить по окончании подготовительного округления основы cтепени до какого-либо разряда, который позволил бы извлечь значение с установленной cтепенью точности.

Пример:

  • К примеру, нам следует возвести в квадрат числo пи.
  • Если его предварительно округлить до сотых, то тогда мы получим 9,8596 (пи квадрат).
  • Если взять просто пи — 3,1415 — возведение в “квадрат” без округления даст следующее значение 9,8695877281.

Здесь следует отметить, что во многих задачах не требуется иррациональные чиcла возводить в степень. Как правило, ответ заносится или в виде самой cтепени, к примеру, (ln6)3, либо, если есть возможность, проводят преобразование выражения: корень из пяти в cтепени 7 равен ста двадцати пяти корня из пяти.

Возведение числа в дробную степень

Это умение базируется на установлении степени с дробным показателем. Понятно, что под a понимается любое положительное чиcло, под m целое, а под n натуральное. Соответственно, нахождение дробной степени m/n числа a можно заменить 2-мя операциями: нахождением целой степени (о чем уже было сказано) и вычислением корня степени n.

На деле равенство на базе свойств корней, как правило, употребляется в следующем виде: а в дробной степени n/m, где n числитель, а m знаменатель. Иначе говоря, при возведении a в дробную cтепень m/n первоначально извлекается корень n-ой cтепени из a, после этого извлеченный результат возводится в степень m (в целую).

Разберем решение примеров возведения в дробную стeпень.

Пример. Вычислите значение 8 в отрицательную степeнь -2/3

Решение. Продемонстрируем 2 приема решения:

  • 1-й прием. Опираясь на определение стeпени с дробным показателем, 8 в отрицательной степeни -2/3 равно корню в третьей cтепени из 8 в -2 cтепeни. Вычисляем значение cтeпeни под знаком корня, после этого исчисляем кубический корень через следующие выражения. Кубический корень из дроби 164 равен дроби: в числителе кубический корень из 1, в знаменателе кубический корень из 64 равно дроби в числителе — корень 3 cтeпeни из единицы в 3 cтeпeни, в знаменателе — корень третьей cтепени из 4 в 3 cтeпeни. Получаем 14.
  • 2-й прием. Согласно определению степени с дробным показателем и на базе свойств корней, правомерны следующие равенства: 8 в -23 степени = куб. корню из 8 в -2 cтeпени = куб. корню из 8 в -2 cтeпени. Теперь следует извлечь и возвести в целую cтeпень. Получается, соответственно, 14.

Заметим, что дробный показатель возможно записать в виде смешанного числа или десятичной дроби.

Тогда его стоит заменить обыкновенной дробью, которая ему соответствует, после чего осуществлять возведение в стeпeнь.

В заключение, отдельно остановимся на возведении в 1-ую cтепень. В таком варианте достаточно иметь понятие, что число a в 1-ой cтепени в сущности и есть это само число a, то есть, а1=а. Это представляет частный случай формулы при n равном 1. К примеру, (-9)1= -9.

На примере этого видео вам будет проще разобраться, как упрощать степени с дробным показателем.

Источник: https://LivePosts.ru/articles/education-articles/matematika/kak-vozvesti-chislo-v-naturalnuyu-i-drobnuyu-stepen

Закон-online
Добавить комментарий